МАТЕМАТИКА И МЫ

27-5992c4ad645b09cdd835ff3060de2a449d21ac86a33642d401c9f24b6e20cec6.pngТетерина Людмила

Пусть А — это событие «кофе закончится в первом автомате», а В — это событие «кофе закончится во втором автомате».

Тогда Р(А * В) — это вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах.

Р(А + В) — это вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Проверим, независимые это события или нет.

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах равна: Р(А * В) = Р(А) * Р(В) = 0,3 * 0,3 = 0,09. Но по условию эта вероятность равна 0,12. Значит, события зависимые.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A * B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Это мы нашли вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Тогда вероятность противоположного события (что кофе останется в обоих автоматах) равна:

1 — 0,48 = 0,52.

Пожаловаться

Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. Часть 5

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории “трудные задачи”, однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

teoriya-veroyatnostej-trudnye-zadachi-chast-5.jpg

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 – 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 – 0,78 = 0,42

2-й способ Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате». Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет  «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ. Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый автомат кофе закончился 0,22
кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18
кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18
кофе остался 0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Второй автомат
кофе закончился кофе остался
Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18
кофе остался 0,18 0,42

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение. Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x. Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок. Вероятность купить тарелку без дефектов равна  ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.1-й способ. Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  16 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем  0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.1-й способ Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы

Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку  0, 5, по литературе  0,6 и по математике 0,9.Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта

хорошая

1

отличная

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
хорошая 1 0,9
отличная 0,1

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
хорошая 1 0,9 0,82
отличная 0,1 0,18

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта
хорошая 1 0,9 0,82
отличная 0,1 0,18 0,244

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить “Задачи с параметром” и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник “Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей”. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

—> Номер варианта сайта alexlarin.net: 133Условие:  В торговом центре два разных автомата продают кофе. Вероятность того, к концу дня закончится кофе в первом автомате, равна 0,32, что закончится кофе во втором автомате – 0,24. Вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,133. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Обозначим через событие A — кофе закончится в первом автомате, а через В — кофе закончится во втором автомате.

Эти события не являются независимыми по условию, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей.

События совместные, тогда вероятность суммы двух событий А и В равна (P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)=0.32+0.24-0.133=0.427.) 

Искомая вероятность равна (1-0.427=0.573.)

Ответ 0.573.

Другие задачи темы: теория вероятностейНомер варианта сайта alexlarin.net: 103Условие: 

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к  концу  дня  в  автомате  закончится  кофе,  равна  0,3.  Вероятность  того,  что  кофе  закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня  кофе останется в обоих автоматах.

Решение: 

Рассмотрим два события. Первое — кофе останется в обоих автоматах и второе — кофе закончится хотя бы в одном автомате. Они противоположные, тогда сумма их вероятностей равна 1.

Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном аппарате.

Если теперь обозначить за событие А — кофе закончится в первом автомате, а за В — кофе закончится во втором автомате, то найдем вероятность их суммы (вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате). При этом по условию вероятность того, что кофе закончится в них обоих, равна 0.12.

События А и В — совместные, тогда вероятность их суммы равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения, то есть равна 0.48. 

Таким образом, вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0.48, а вероятность противоположного события равна 1-0.48=0.52.

Ответ 0.52.

Другие задачи темы: теория вероятностейИспользуемые источники:

  • https://vashurok.ru/questions/veroyatnost-v-torgovom-tsentre-dva-odinakovih-avtomata-prodayut-kofe-veroyatnost-togo-cht
  • https://safonova-ln.ru/teoriya-veroyatnostej-na-ege-trudnye-zadachi-chast-5/
  • https://ege4.me/content/zadanie-4-31
  • https://ege4.me/content/задание-5-6

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий